Система аксиом Колмогорова




Раздел 18.3. Вероятностная модель эксперимента с бесконечным числом исходов.

Аксиоматика Колмогорова

Вопросы для самоконтроля

.

1.Что такое σ-алгебра событий?

2.Что такое вероятностное пространство.

3.Сформулируйте аксиомы вероятности и дайте ее определение по А.Н.Колмогорову

Литература по теме 1(3)

А.Н.Бородин «Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики» Часть I, п.6

Б.В.Гнеденко «Курс теории вероятностей» Глава 1, п.6

В.Феллер Введение в теорию вероятностей и ее применение т.2, глава IV, п.3

Нередко встречаются случаи, когда невозможно выписать явные формулы для вероятностей произвольных событий. Такова ситуация, когда пространство элементарных событий является несчетным множеством. В таком случае вероятность можно изучать, лишь сформулировав общие свойства, которые присущи вероятностям любых событий.

«Итак, назовем новое учение, цель которого состоит в том, чтобы давать определенное знание о случайных, неопределенных событиях, теорией вероятностей. Что же касается того, является ли теория вероятностей областью математики, то весь вопрос сводится к следующему: что мы подразумеваем под математикой? Если под математикой подразумевают только традиционные ее разделы – геометрию, арифметику и алгебру, то, конечно, в таком узком определении нет места ни для какой новой ветви. Я же в этом вопросе согласен с Декартом, который утверждал, что все исследования , направленные на изучение порядка и меры, принадлежат математике, независимо от того, что является их предметом и к чему относятся рассматриваемые порядок и мера»

(Блез Паскаль, из письма к Пьеру Ферма от 28 октября 1654 г.)

До недавнего времени теория вероятностей представляла собой еще не сложившуюся математическую науку, в которой основные понятия были недостаточно четко определены. Эта нечеткость приводила нередко к парадоксальным выводам (вспомним парадоксы Бертрана). Естественно, что приложения теории вероятностей к изучению явлений природы были слабо обоснованы и встречали порой резкую и обоснованную критику. Нужно сказать, что эти обстоятельства мало смущали естествоиспытателей и их наивный теоретико-вероятностный подход в различных областях науки приводил к крупным успехам. Развитие естествознания в начале текущего (20-го) столетия предъявило к теории вероятностей повышенные требования. Возникла необходимость в систематическом изучении основных понятий теории вероятностей и выяснении тех условий, при которых возможно использование ее результатов. Вот почему особенно важное значение приобрело формально-логическое обоснование теории вероятностей, ее аксиоматическое построение. При этом в основу теории вероятностей как математической науки должны быть положены некоторые предпосылки , являющиеся обобщением многовекового человеческого опыта. Дальнейшее же е развитие должно строиться посредством дедукции из основных положений без обращения к наглядным представлениям, к выводам «согласно здравому смыслу» Иными словами, теория вероятностей должна строиться из аксиом также, как любая сформировавшаяся математическая наука - геометрия, теоретическая механика, абстрактная теория групп и т.д.

Впервые подобная идея была высказана и развита советским математиком С.Н.Бернштейном . При этом С.Н.Бернштейн исходил из качественного сравнения случайных событий по их большей или меньшей вероятности.

Имеется иной подход, предложенный А.Н.Колмогоровым. Этот подход тесно связывает теорию вероятностей с современной математической теорией функций, а также теорией множеств.

… аксиоматическое построение основ теории вероятностей отправляется от основных свойств вероятности, подмеченных на примерах классического и статистического определений. Аксиоматическое определение вероятности, таким образом, как частные случаи включает себя и классическое и статистическое определения и преодолевает недостаточность каждого из них. На этой базе удалось построить логически совершенное здание современной теории вероятностей и в т же время удовлетворить повышенные требования к ней современного естествознания.» (Б.В.Гнеденко «Курс теории вероятностей»)

Таким образом, теория вероятностей является полноправной математической дисциплиной и, соответственно, нуждается в аксиоматической системе в качестве своего основания. Это должен быть набор аксиом (постулатов), принимаемых нами без доказательств, удовлетворяющих (в идеале) следующим трем условиям:

1) Независимость (любую из принятых аксиом нельзя вывести из остальных, так, что выведенная из других аксиома является не аксиомой, а теоремой)

2) Непротиворечивость (система аксиом не порождает противоречащих друг другу утверждений)

3) Полнота (систему нельзя дополнить независимым от уже принятых аксиом утверждений)

С другой стороны, введение определения вероятности «по классическому принципу» уже в случае геометрической вероятности приводит к тому, что вероятность любо элементарного события (исхода) – попадание в конкретную точку области - оказывается равной нулю.

Поэтому следует дать определение вероятности события для любого пространства элементарных событий Ω, не связанное с вероятностями элементарных исходов, а учитывающее те свойства вероятностей событий, которые имеют место для всех ранее данных определений вероятности (классического, статистического и геометрического).

Напоминание. Свойства вероятности

1) Р(А) ≥ 0

2) Р(Ω) = 1

3) Р( А1 + А2 +… Аm) = P (А1 )+P( А2 )+… P(Аm), при условии, что события А1 , А2 ,… Аm попарно несовместны.

Эти три свойства лежат в основе аксиоматического определения вероятности. При этом свойство 3) постулируется для счетного множества попарно несовместных событий.

Определение 18.3.1.Совокупность подмножеств множества Ω (событий) называется σ-алгеброй (событий) A, если выполнены следующие условия:

1) Ω є A

2) Если множества (события) Аi є A, i = 1, 2, 3, …, то Σ∞i=1 Ai є A

3) Если множество (событие) А є A, то и Ā є А

Замечание. Совокупность множеств (событий) называется (просто) алгеброй (событий), если для этих множеств выполняются условия 1) и 3), а условие 2) формулируется следующим образом: Если А1 є Aи А2 є A, то А1 + А2 є A Нетрудно видеть, что данное условие слабее, так как оно следует из условия для σ-алгебры.

Определение 18.3.2.(аксиоматическое определение вероятности). Пусть каждому событию А (то есть подмножеству А пространства элементарных событий Ω, принадлежащему σ-алгебре (событий) А, поставлено в соответствие число Р(А). Числовую функцию Р , заданную на σ-алгебре (событий) А, называют вероятностью (вероятностной мерой), если она удовлетворяет следующим аксиомам:

Система аксиом Колмогорова

1. Аксиома I. Каждому случайному событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое его вероятностью

2. Аксиома II. Аксиома II Р(Ω) = 1

3. Аксиома III (аксиома сложения) Р( А1 + А2 +… Аm) = P (А1 )+P( А2 )+… P(Аm), при условии, что события А1 , А2 ,… Аm попарно несовместны

Замечание. Система аксиом Колмогорова является непротиворечивой (существуют реальные объекты, удовлетворяющие этой системе), но неполной, поскольку даже для одного и того же вероятностного пространства Ω вероятности в множестве (σ-алгебре) А могут выбираться различными способами

В современных пособиях система аксиом выглядит, как правило, следующим образом:

1) Аксиома I (Аксиома неотрицательности) Р(А) ≥ 0

2) Аксиома II (Аксиома нормированности) Р(Ω) = 1

3) Аксиома III (Расширенная аксиома сложения) Для любых попарно несовместных Р( А1 + А2 +… Аm+…) = P (А1 )+P( А2 )+… P(Аm)+…

Замечание 18.3.1.. Вместо этой аксиомы могут использоваться Аксиома сложения и

4) Аксиома IV (Аксиома непрерывности) Если последовательность событий А1 , А2 ,… Аm ,… такова, что каждое событие является подмножеством следующего события и А1 + А2 +… Аm+… = А,

то lim P(Am ) = P(A) , n → ∞

Замечание 18.3.2. Необходимость введения расширенной аксиомы сложения связана с рассмотрением событий (множеств), образованных бесконечным числом исходов (точек).

Замечание 18.3.3. Расширенная аксиома сложения и аксиома непрерывности равносильны, иными словами они являются эквивалентными утверждениями (из аксиомы III следует аксиома IV и наоборот)

Определение 18.3.3. Значение Р(А) называют вероятностью события А

Определенная таким образом вероятность Р(А) удовлетворяет следующим свойствам:

1. Р(Ω) = 1

2. Р(Ø) = 0, Ø – пустое множество (невозможное событие)

3. 0 ≤ Р(А) ≤ 1, А – произвольное событие

4. Р (Ā) = 1 - Р(А), Ā - событие, противоположное событию А

5. Если множество (событие) А1 является подмножеством множества (события) А2 , то P (А1 ) ≤ P( А2 ) («большему» событию соответствует большая вероятность)

6. Вероятность суммы (объединения) двух произвольных событий

Р( А1 + А2 ) = P (А1 ) + P( А2 ) - Р( А1 ∩ А2 ), А1 ∩ А2 - произведение (пересечение) событий А1 и А2 .

В случае, если события А1 и А2 несовместны,

Р( А1 + А2 ) = P (А1 ) + P( А2 )

Замечание 18.3.4.. Если пространство элементарных событий Ω является конечным или счетным множеством, то каждому элементарному исходу ωi , i = 1, 2, … можно поставить в соответствие число Р, так что Σ∞i=1 рi =1 , где рi = Р(ωi )

Теперь рассмотрим случай, когда пространство элементарных событий Ω является множеством действительных чисел

R = (- ∞, + ∞). Для задания вероятности на числовой прямой можно взять произвольную неубывающую для любого х є R непрерывную слева функцию F, удовлетворяющую условиям:

1. F ( - ∞ ) = lim F(x) = 0, x → - ∞

2. F ( + ∞ ) = lim F(x) = 1, x → + ∞

И каждому (множеству) событию Ах = ( - ∞, х) поставить в соответствие вероятность Р(Ах) = F(x), а событию А = [x1 , x2 ) – вероятность Р(А) = F(x1) - F(x2 ).

Найденная таким образом для всех событий А = [x1 , x2 ) числовая функция Р(А) удовлетворяет вышеперечисленным аксиомам

Подытоживая, можно сказать, что вероятность оказывается не только интуитивно ясной, родственной частоте численной характеристикой события, но и абстрактной величиной, правилом, ставящим в соответствие событию некоторое число.

«Вероятности играют для нас ту же роль, что и массы в теоретической механике: можно обсуждать движение планетарной системы, не зная масс отдельных планет и не рассматривая методов их действительного измерения. Можно также с пользой (для прояснения сути дела) изучать гипотетическое движение планетарной системы. Точно также и вероятностные модели могут быть полезны даже в том случае, когда описывают объекты, которые не могут наблюдаться или не заслуживают наблюдения

(В.Феллер «Введение в теорию вероятностей и ее приложение»)

Определение 18.3.4.. Тройка (Ω, A, Р) называется вероятностным пространством

Замечание 18.3.5. Таким образом , понятие вероятностного пространства объединяет понятия исхода эксперимента, события и его вероятности.

Забегая вперед, можно сказать, что вероятностное пространство представлено двум множествами: пространством элементарных событий Ω, являющимся областью определения (функции) случайной величины, множеством подмножеств из Ω - σ-алгеброй А, являющейся областью определения функции «вероятность» и самой вероятности.

Отвлеченное приложение.

Самое интересное.



Работы которые могут быть Вам интерессными kineticheskie-osobennosti-korrozii-metallov-s-kislorodnoj-depolyarizaciej-limitiruyushie-stadii-vliyanie-prirodi-i-soderzhaniya-katodnih-vklyuchenij-temperaturi-nalichiya-pav.html

kineticheskie-osobennosti-neverbalnogo-obsheniya-zhesti-pozi-mimika.html

kineticheskie-zakonomernosti-geterogennih-nekataliticheskih-processov-puti-intensifikacii-geterogennih-processov.html

kineticheskij-analiz-processa.html

kineticheskij-dinamicheskij-praksis.html

kineticheskij-moment-sistemi.html

kineticheskij-moment-tverdogo-tela.html

kineticheskij-raschet-privoda.html

kineticheskoj-i-potencialnoj-energii-chastici.html

kinetika-biohimicheskih-processov.html

kinetika-diffuzionnih-processov.html

kinetika-elektrodnih-processov-polyarizaciya-i-perenapryazhenie.html

kinetika-fazovih-prevrashenij.html

kinetika-fermentativnih-reakcij.html

kinetika-gomogennih-kataliticheskih-reakcij.html

kinetika-gomogennih-reakcij.html

kinetika-himicheskih-i-biohimicheskih-processov.html

kinetika-himicheskih-processov.html

kinetika-himicheskih-reakcij.html

kinetika-himicheskih-reakcij-kataliz.html

kinetika-himicheskoj-reakcii.html

© domain.tld 2017. Design by Design by toptodoc.ru


Автор:

Дата:

Каталог: Образовательный документ