Функция распределения вероятностей случайной величины




Функцией распределения называют функцию F(х), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х, т. е.

F(х) = P(X < x).

Часто вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция распределения».

Функция распределения обладает следующими свойствами:

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрежу [0; 1]:

0 ≤ F(х) ≤ 1.

Свойство 2. Функция распределения есть неубывающая функция:

F(x2) ≥ F(x1), если x2 > x1.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(a < X < b) = F(b) – F(a).

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, например х1, равна нулю:

P(X = x1) = 0.

Свойство 3. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (a, b), то

F(x) = 0 при x ≤ a; F(x) = 1 при x ≥ b.

Следствие. Справедливы следующие предельные соотношения:

Свойство 4. Функция распределения непрерывна слева:

149. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале (0, 1/3).

Решение. Вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a < X < b) = F(b) – F(a). Положив a = 0, b = 1/3, получим

P(0 < X < 1/3) = F(1/3) – F(0) =
= [(3/4)x + 3/4]x = 1/3 – [(3/4)x + 3/4]x = 0 = 1/4.

150. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение: а) меньшее 0,2; б) меньшее трех; в) не меньшее трех; г) не меньшее пяти.

151. Случайная величина X задана на всей оси Ох функцией распределения F(x) = 1/2 + (1/π) arctg(x/2). Найти возможные значения х1, удовлетворяющее условию: с вероятностью 1/4 случайная величина Х в результате испытания примет значение, большее х1.

152. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

X 2 4 7

p 0,5 0,2 0,3

Найти функцию распределения F(x) и начертить её график.

153. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

X 3 4 7 10

p 0,2 0,1 0,4 0,3

Найти функцию распределения F(x) и начертить её график.

6.2. Плотность распределения вероятностей
непрерывной случайной величины

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения: .

Часто вместо термина «плотность распределения» используют термины «плотность вероятностей» и «дифференциальная функция».

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), определяется равенством

Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

Свойство 1. Плотность распределения неотрицательна, т. е. f(x) ≥ 0.

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от – ∞ до ∞ равен единице: .

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то .

154. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х

Найти плотность распределения f(x).

Решение. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

Заметим, что при х = 0 производная не существует.

155. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х

Найти плотность распределения f(x).

156. Непрерывная случайная величина Х заданная плотностью распределения f(x) = (3/2)sin 3x в интервале (0, π/3); вне этого интервала f(x) = 0. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (π/6, π/4).

157. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти функцию распределения F(x).

158. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти функцию распределения F(x).

159. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана на всей оси Ох равенством . Найти постоянный параметр С.



Работы которые могут быть Вам интерессными nauchenie-i-obshenie-podrazhanie.html

nauchenie-i-pamyat.html

nauchenie-i-priobretennoe-masterstvo.html

nauchenie-kak-ponimanie-rasskaza.html

nauchenie-kak-process-i-rezultat-priobreteniya-individualnogo-opita.html

nauchenie-osnova-priobretennogo.html

nauchenie-posredstvom-nablyudeniya.html

nauchenie-putem-insajta-v-kyoler.html

nauchenie-v-rannem-vozraste.html

nauchenie-zavisimoe-ot-sostoyaniya.html

nauchennij-gorkim-opitom-ya-uzhe-ne-smeyalsya-vspominaya-naryad-bulonskih.html

na-uchet-pozicii-sobesednika-partnera.html

nauchimsya-vesti-spor.html

nauchi-rebenka-lyubit-hrista-no-tak-chtobi-on-prochuvstvoval-ego-zhil-im-a-ne-navyazivaya-emu-boga.html

nauchis-hotet-to-chto-imeesh-aristotel.html

nauchis-obshatsya-s-pechalyu.html

nauchis-raspoznavaniyu-mezhdu-istinnim-i-lozhnim-vechnim-i-prehodyashim-i-eto-dast-tebe-pravo-vojti-v-pervie-vrata-posvyasheniya.html

nauchis-sledovat-za-svyatim-duhom.html

nauchis-slushat-drugih.html

nauchis-znakomitsya-izmeni-zhizn-k-luchshemu.html

nauchite-detej-prislushivatsya-k-svoemu-zheludku-a-ne-smotret-na-tarelku.html

© domain.tld 2017. Design by Design by toptodoc.ru


Автор:

Дата:

Каталог: Образовательный документ