Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства




Системы случайных величин

Двумерные случайные величины

Понятие о системе случайных величин и законе ее распределения

При изучении случайных явлений часто приходится иметь дело с двумя, тремя и большим числом случайных величин. Совместное рассмотрение нескольких случайных величин приводит к системам случайных величин. Так, точка попадания снаряда характеризуется системой двух случайных величин: абсциссой X и ординатой Y; успеваемость наудачу взятого абитуриента характеризуется системой n случайных величин - оценками, проставленными в его аттестате зрелости.

Упорядоченный набор случайных величин , заданных на одном и том же ПЭС Ω, называется n-мерной случайной величиной или системой n случайных величин.

Одномерные случайные величины называются компонентами или составляющими n-мерной случайной величины . Их удобно рассматривать как координаты случайной точки или случайного вектора в пространстве n измерений.

На многомерные случайные величины распространяются почти без изменений основные понятия и определения, относящиеся к одномерным случайным величинам. Ограничимся для простоты рассмотрением системы двух случайных величин; основные понятия обобщаются на случай большего числа компонент.

Упорядоченная пара двух случайных величин Х и Y называется двумерной случайной величиной или системой двух одномерных случайных величин X и Y.

Систему можно изобразить случайной точкой или случайным векторомОМ (рис.6.1).

Система есть функция элементарного события: . Каждому элементарному событию ставится в соответствие два действительных числа х и у (или х1 и x2) - значения X и Y (или и ) в данном опыте. В этом случае вектор называется реализацией случайного вектора .

Рис. 6.1.

Системы случайных величин могут быть дискретными, непрерывнымии смешанными в зависимости от типа случайных величин, образующих систему. В первом случае компоненты этих случайных систем дискретны, во втором - непрерывны, в третьем - разных типов.

Полной характеристикой системы является ее закон распределения вероятностей, указывающий область возможных значений системы случайных величин и вероятности этих значений. Как и для отдельных случайных величин закон распределения системы может иметь разные формы (таблица, функция распределения, плотность, ...).

Так, закон распределения дискретной двумерной случайной величины можно задать формулой

, , (6.1)

или в форме таблицы с двойным входом:

Причем, сумма всех вероятностей , как сумма вероятностей полной группы несовместных событий , равна единице:

.

Зная закон распределения дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из компонент (обратное неверно). Так, , что следует из теоремы сложения несовместных событий .

Аналогично можно найти

,

.

Пример 6.1. В урне 4 шара: 2 белых, 1 черный, 1 синий. Из нее наудачу извлекают два шара. Пусть случайная величина Х – число черных шаров в выборке, случайная величина Y – число синих шаров в выборке. Составить закон распределения для системы . Найти законы распределения X и Y.

Решение:

Случайная величина Х может принимать значения 0, 1; случайная величина Y - значения 0, 1.

Вычислим вероятности

или ,

,

,

.

Таблица распределения системы имеет вид:

Отсюда следует:

,

,

,

.

Законы распределения составляющих X и Y имеют вид:

Х Y
р р

Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства

Универсальной формой задания распределения двумерной случайной величины является функция распределения (или «интегральная функция»), пригодная как для дискретной, так и для непрерывной случайной величины, обозначаемая или просто .

Функцией распределения двумерной случайной величины называется функция , которая для любых действительных чисел х и у равна вероятности совместного выполнения двух событий и .

Таким образом, по определению

(6.2)

событие означает произведение событий и .

Геометрически функция интерпретируется как вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной в точке , лежащий левее и ниже ее (рис. 6.2).

Рис. 6.2.

Функция распределения двумерной дискретной случайной величины находится суммированием всех вероятностей , для которых , т.е.

. (6.3)

Геометрическая интерпретация функции распределения позволяет наглядно иллюстрировать ее свойства.

Свойства функции распределения двумерной случайной величины:

1. Функция распределения ограничена, т.е.

2. не убывает по каждому из своих аргументов при фиксированном другом, т.е.

при

при

3. Если хотя бы один из аргументов обращается в , то функция распределения равна нулю, т.е.

4. Если оба аргумента обращаются в , то равна 1, т.е.

.

5. Если один из аргументов обращается в , то функция распределения системы случайных величин становится функцией распределения случайной величины, соответствующей другому элементу, т.е.

, . (6.4)

6. непрерывна слева по каждому из своих аргументов, т.е.

,

Зная совместное распределение двух случайных величин X и Y, можно найти одномерные распределения этих случайных величин, но обратное, вообще говоря, неверно.

Отметим, что с геометрической точки зрения есть некоторая поверхность (ступенчатая для двумерной дискретной случайной величины), обладающая указанными свойствами.

С помощью функции легко можно найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольникD со сторонами, параллельными координатным осям:

. (6.5)

Приведем геометрическое доказательство (рис. 6.3)

Рис. 6.3.

Здесь - вероятность попадания случайной точки в область D, - в А, - в В, - в С (эту область дважды вычли, следует один раз прибавить).

Пример 6.2.По таблицам распределения системы компонент X и Y примера 6.1. найти , , .

Решение:

Используя формулу (6.4), находим функцию распределения , ,

Используя формулу (6.3.), находим функцию распределения :



Работы которые могут быть Вам интерессными torgovie-sistemi-aleldera.html

torgovie-tochki-otlichaet-i-cenovaya-politika.html

torgovie-usloviya-dogovora-kupli-prodazhi.html

torgovih-domov-yarmarok-i-aukcionov.html

torgovij-algoritm-12-druzej-oushena.html

torgovij-balans-i-balans-tekushih-operacij.html

torgovij-diapazon-trading-range.html

torgovij-dom-petya-kozirkov.html

torgovij-inventar.html

torgovij-i-platezhnij-balansi-strani.html

torgovij-kapital-i-torgovaya-pribil.html

torgovij-kapitalizm-v-gollandii-rol-truda-v.html

torgovij-kredit.html

torgovij-platezhnij-raschetnij-balans.html

torgovij-predstavitel.html

torgovij-professionalizm-podhodi-k-obucheniyu-torgovogo-personala-orientirovannij-na-torgovlyu-orientirovannij-na-potrebitelya.html

torgovli-hlebobulochnimi-izdeliyami.html

torgovlya-akciyami-na-fondovih-birzhah.html

torgovlya-fiksirovannimi-lotami.html

torgovlya.html

torgovlya-i-finansi.html

© domain.tld 2017. Design by Design by toptodoc.ru


Автор:

Дата:

Каталог: Образовательный документ