ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ




КИНЕМАТИКА

Материальная точка движется по окружности радиуса r. Движение точки можно описывать либо как поступательное по криволинейной траектории, либо как поворот соответствующего радиуса-вектора. Поэтому дана либо временная зависимость координаты точки S(t) (варианты 1–12, 26), либо зависимость угла поворота радиуса-вектора от времени φ(t) (варианты 13–25). Точка начинает двигаться при t = 0. Требуется проанализировать ее движение на заданном интервале времени (0 ≤ t ≤ 6 с в вариантах 1 – 12, 26 и 0 ≤ t ≤ 1 с в вариантах 13–25).

Кроме того, следует определить в указанный момент времени t1:

1) линейную и угловую скорости (т. е. направление и величины);

2) путь S1, пройденный точкой с момента начала движения;

3) нормальное , тангенциальное и полное ускорения, а также угловое ускорение точки.

Исходные данные приведены в табл. 1.1.

Рассмотрим в качестве примера 26-й вариант.

Для краткости опустим словесную формулировку задачи.

Решение

Чтобы понять, как движется точка при 0 ≤ t ≤ 6 с, построим графики зависимостей S(t) и υ(t) = (t) на этом временном интервале:

υ(t) = 2t – 4.

Выберем в качестве начала отсчета на окружности точку А (рис. 1.1). Положительные значения S и φ будем откладывать против, отрицательные – по ходу часовой стрелки. При t = 0 имеем S = 3 м, что соответствует, скажем, точке В. В течение первой секунды движения величина S уменьшается до нуля, т. е. точка попадает из В в А, двигаясь по ходу часовой стрелки. Скорость при этом отрицательна. В течение второй секунды точка продолжает двигаться в том же направлении и при t = 2 с попадает в С, где S = – 1 м. Скорость в этот момент равна нулю. В течение третьей секунды точка движется из С против хода часовой стрелки (υ(t) > 0 при 2 с < t ≤ 3 с) и при t = 3 с попадает в А (S = 0). При t > 3 с, как видно из графиков, S(t) > 0 и υ(t) > 0. Следовательно, точка будет далее двигаться против хода часовой стрелки. Отметим, что а(t) = (t) = 2 м/с2, т. е. движение точки равноускоренное.

Определение величин пути, скоростей и ускорений производится по стандартным формулам и здесь не приводится. Зная направление движения точки (против хода часовой стрелки), также легко определить направление линейной и угловой скоростей при t1 = 4 с.

Таблица 1.1

№ вар. Уравнение движения t1, с r, м
S(t), м φ(t), рад
S = – t2 + 5t – 4
S = t3 – 3t2 + 2t
S = t2 – 6t + 8
S = – 10 + 7t – t2
S = – t3 + 4t2 – 3t
S = t2 – 3t + 2
S = – 12t + 7t2 – t3
S = t3 – 6t2 + 8t
S = 6 – 5t + t2
S = – t2 + 6t – 5
S = – 6t + 5t2 – t3
S = – 7t + 12 + t2

Окончание табл. 1.1

№ вар. Уравнение движения t1, с r, м
S(t), м φ(t), рад
φ = t2 – 0,8t + 0,15 0,4
φ = 0,02t – 0,3t2 + t3 0,5
φ = t2 – 0,4t + 0,03 0,2
φ = 0,06t – 0,5t2 + t3 0,4
φ = –0,04 + 0,5t – t2 0,6
φ = –0,7t + t2 + 0,12 0,8
φ = t2 – 0,6t + 0,08 0,3
φ = t3 + 0,12t – 0,7t2 0,7
φ = t2 + 5t – 6 0,9
φ = t3 – 0,7t2 + 0,1t 0,4
φ = – t3 + 0,4t2 – 0,03t 0,2
φ = 0,02 – 0,3t + t2 0,6
φ = – t2 + 0,6t – 0,05 0,4
S = t2 – 4t + 3

ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Варианты 1–6, 26.

К грузу массой m1 подвешен на веревке груз массой m3. Масса веревки m2. Вся система поднимается вертикально вверх под действием силы . Сила натяжения веревки со стороны груза m1 равна , а со стороны груза m3 равна .

Варианты 7–12.

Три тела, связанных невесомыми нитями, лежат на гладкой горизонтальной поверхности. К телу массой m1 приложена сила , направленная вдоль поверхности, а к телу массой m3 – сила , направленная в противоположную сторону. Ввиду невесомости нитей силы натяжения между телами m1 и m2 и между телами m2 и m3 можно считать постоянными по всей длине соответствующей нити. Трением пренебречь.

m3
m2
m1


Варианты 13–19.

Маляр, масса которого m1, работает в подвесном кресле. При подъеме вверх он тянет веревку с такой силой , что его сила давления на кресло уменьшается до . Масса кресла равна m2 (рис. 2.1).


Варианты 20–25.

Невесомый блок укреплен в вершине наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α. Гири с массами m1 и m2 соединены невесомой нитью и перекинуты через блок. Сила натяжения нити . Коэффициент трения гири с массой m2 о наклонную плоскость равен k. Трением в блоке можно пренебречь (рис. 2.2).

Исходные данные для всех вариантов приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

№ вар. m1, кг m2, кг m3, кг F1, H F2, H Fнат1, H Fнат2, H а, м/с2
5 · 10-3 ? 3 · 10-3 ? - 8 · 10-2 6 · 10-2 ?
5 · 10-4 ? ? ? - 3 · 10-2 25 · 10-3 6,7
? 10-3 5 · 10-3 12 · 10-2 - ? 10 · 10-2 ?
10-3 ? 15 · 10-4 5 · 10-2 - ? ? 6,7
4 · 10-3 10-3 ? 13,5 · 10-2 - ? ?
3 · 10-2 ? 44 · 10-2 - ? 11 · 10-2 ?
10-3 5 · 10-4 15 · 10-4 5 · 10-2 - ? ? ?

Продолжение табл. 2.1

№ вар. m1, кг m2, кг m3, кг F1, H F2, H Fнат1, H Fнат2, H а, м/с2
10-1 2 · 10-1 3 · 10-1 ? ? ?
? ? ? 0,5 86 · 10-2 58 · 10-2 2,8
2 · 10-2 8 · 10-2 ? 1,8 ? ?
5 · 10-1 10-1 8 · 10-1 ? ? 2,29 2,14 ?
10-1 ? 3 · 10-1 ? ? 13,3
? 10-1 3 · 10-2 0,5 ? 58 · 10-2 ?
- - ? - ?
- ? - ? -
? ? - - -
- ? - - ?
? - - ? -
? - - ? -
? - - - ?

Окончание табл. 2.1

№ вар. m1, кг m2, кг Fнат, H α, град k а, м/с2
? 0,1 ?
? ? 2,45
? ? ? 0,2
? ?
? ?
? ? 0,1 4,4

Здесь а – ускорение системы.

Рассмотрим, например, 26-й вариант задачи.

К грузу массой m1 = 10-3 кг подвешен на веревке груз массой m3 = 15 · 10-4 кг. Масса веревки m2 = 5 · 10-4 кг. Вся система поднимается вертикально вверх с силой F1 = 5 · 10-2 Н. Определить силы натяжения веревки и ускорение системы.

Решение

На груз m1 действуют три силы: со стороны Земли – сила тяжести ; со стороны растянутых нитей – сила натяжения и сила тяги . На груз m3 действуют две силы: со стороны Земли – сила тяжести и со стороны нити – сила натяжения . На рис. 2.3 точки приложения сил выведены вправо от грузов. На веревку массой m2 действуют три силы (рис. 2.4): со стороны Земли – сила тяжести ; со стороны верхнего груза – сила, равная по величине и противоположная по направлению силе, с которой веревка действует на этот груз, т. е. (– ); со стороны нижнего груза – сила, равная (– ).

Проведенный анализ позволяет написать уравнение движения (второй закон Ньютона) в векторном виде для каждого из трех рассматриваемых тел в отдельности. Спроектировав эти уравнения на ось у (вдоль этой оси совершается движение тел), получим систему из трех алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами, решение которой дает следующие результаты:

м/с2;

Н;

Н.

Анализ ответа. Если m2 = 0, т. е. нить «невесома», то натяжение вдоль всей нити одинаково:

.

Примечание: в вариантах 7–12 ось удобно выбирать по горизонтали, а в вариантах 20–25 одну из осей – вдоль наклонной плоскости.

Сила трения (варианты 20–25) в данном случае определяется как произведение коэффициента трения на силу нормального давления (т. е. составляющую веса тела, перпендикулярную наклонной плоскости).

В вариантах 1–6 необходимо получить расчетные формулы для а, Fнат1, Fнат2.

Проверка правильности размерности результатов здесь достаточно проста, и для краткости ее опускаем.

РАБОТА

Варианты 1–8, 26.

Под действием постоянной силы тяги F вагонетка массой m прошла путь S за время t и приобрела скорость υ. Ускорение вагонетки а. Коэффициент трения k. Работа силы F по движению вагонетки равна А.

Варианты 9–16.

Груз массой m под действием постоянной силы F за время t поднимается на высоту h. Ускорение груза а. Скорость в конце подъема υ. Работа силы F по подъему груза равна А.

Варианты 17–25.

Груз массой m под действием постоянной силы тяги F поднимается по наклонной плоскости длиной l за время t. Ускорение груза а, скорость в конце подъема υ. Коэффициент трения k. Угол наклона плоскости φ. Работа силы F по подъему груза равна А.

Исходные данные для всех вариантов приведены в табл. 3.1–3.3.

Таблица 3.1

№ вар. m, кг υ, м/с S, м а, м/с2 k t, с А, Дж F, Н
4 · 102 ? ? 2 · 10-2 ? 103 ?
4,5 · 102 ? ? ? 10-2 ? 2 · 102
? ? 0,5 10-2 ? 103 ?
? ? ? 0,4 2 · 10-2 ? 2,2 · 102
3 · 102 ? ? ? 9 · 102 ?
4 · 102 ? ? 10-2 ? ?
5 · 102 ? ? 0,4 ? ? 2,5 · 102
6 · 102 ? 0,2 3 · 10-2 ? ? ?
4 · 102 ? 10-2 ? ? ?

Таблица 3.2

№ вар. m, кг υ, м/с h, м t, с F, Н А, Дж а, м/с2
102 ? ? ? ?
? ? ? 5 · 103 ?
1,5 · 102 ? ? ? ?
? ? ? ? 2 · 103 4,8 · 103 2,1
102 ? ? 1,2 · 103 ? ?
? ? ? 6 · 103 ?
2 · 102 ? ? 3 · 103 ? ?
102 ? ? ? 1,5 · 103 5,5 · 103 ?

Таблица 3.3

№ вар. m, кг υ, м/с l, м t, с а, м/с2 φ, град k F, Н А, Дж
102 ? ? 0,1 ? ?
? ? ? 1,2 0,1 7 · 102 ?
1,2 · 102 ? ? 2,1 0,9 ? ? 2 · 103
0,9 · 102 ? 1,9 ? 0,1 ? ?
? 2,1 ? ? 0,1 ? 1,4 · 103
102 1,9 ? ? 1,1 ? 8 · 102 ?
2 · 102 ? 2,5 ? 0,1 ? ?
0,8 · 102 1,8 ? ? ? 0,1 7 · 102 ?
102 ? ? ? 0,1 ? 1,4 · 103

Рассмотрим в качестве примера 26-й вариант.

Под действием постоянной силы F вагонетка массой 400 кг прошла путь 5 м и приобрела скорость 2 м/с. Коэффициент трения равен 0,01. Определить время t движения и ускорение а вагонетки, а также силу, действующую на вагонетку, и работу А этой силы.

Решение

Работа постоянной силы F по перемещению вагонетки равна

. (3.1)

Для определения силы F запишем уравнение движения (2-й закон Ньютона) для вагонетки (рис. 3.1)

+ = (3.2)

Сила трения Fтр равна по величине произведению коэффициента трения на силу нормального давления и в данном случае

. (3.3)

Равноускоренное движение вагонетки описывается соотношениями

; υ = аt. (3.4)

Решение системы уравнений (3.1)–(3.4) дает следующие результаты:

t = 5 c; a = 0,4 м/с2;

Н;

Дж.

Примечание. В результате воздействия внешней силы вагонетка преодолевает сопротивление силы трения и приобретает кинетическую энергию. Поэтому работу А можно определить также из следующего соотношения:

Дж.

Проверка размерностей результатов здесь достаточно проста, и для краткости ее опускаем.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Трофимова Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М. : Высш. шк., 2000. – 542 с.

2. Савельев И. В. Курс общей физики : в 3 т. / И. В. Савельев. – М. : Наука, 1982. – Т. 1. – 432 с.

3. Чертов А. Г. Задачник по физике / А. Г. Чертов, А. А. Воробьев. – М. : Высш. шк., 1988. – 527 с.



Работы которые могут быть Вам интерессными yakij-vіdsotok-palatnoї-sekcії-lіkarnі-povinen-buti-na-chotiri-dva-ta-odne-lіzhko.html

yakij-vіdsotok-sered-vsіh-mіkroorganіzmіv-sho-mіstyatsya-u-stіchnih-vodah-ptahofabrik-stanovlyat-stafіlokoki.html

yakij-z-faktorіv-sho-spriyayut-viniknennyu-hronіchnoї-gastroduodenalnoї-patologії-ne-viznachaє-її-formuvannya.html

yakij-z-kriterіїv-efektivnostі-menedzhmentu-organіzacії-mozhe-buti-oharakterizovanim-yak-stupіn-zadovolennya-potreb-pracіvnikіv-ta-reakcіya-pracіvnikіv-na-umovi-pracі-ta-zhittya.html

yakij-z-perelіchenih-obєktіv-buhgalterskogo-oblіku-ne-vіdnosyat-do-vlasnogo-kapіtalu.html

yakij-z-shkіrnih-simptomіv-najmensh-jmovіrnij-pri-hronіchnomu-gepatitі.html

yakij-z-vidіv-vіdpovіdalnostі-ne-strahuєtsya.html

yakij-іnstruktazh-provoditsya-na-robotah-z-pіdvishenoyu-nebezpekoyu-1-raz-v-3-mіsyacі-dlya-reshti-robіt-1-raz-na-pіvroku.html

yakij-іz-elementіv-distribucіjnoї-sistemi-najbіlsh-adekvatno-vіdobrazhaє-sutnіst-ponyattya-distribucіya.html

yakij-іz-navedenih-matematichnih-virazіv-є-virazom-zakonu-bojlya-marіotta.html

yakij-іz-principіv-ocіnki-vartostі-zemelnih-dіlyanok-budіvel-і-sporud-є-viznachalnim.html

yakim-dokumentom-oformlyuyut-gospodarskі-operacії-pri-їh-zdіjsnennі.html

yakim-dokumentom-viznachaєtsya-obsyag-і-tematika-kursu-lekcіj.html

yakimi-grupami-platnikіv-єdinogo-podatku-do-sumi-perevishennya-obsyagu-dohodu-zastosovuєtsya-stavka-u-rozmіrі-15-vіdsotkіv.html

yakimi-nadbannyami-pro-urok-іstorії-mozhe-skoristuvatisya-suchasnij-uchitel.html

yakimi-normativnimi-dokumentami-vishogo-zakladu-osvіti-viznachayutsya-formi-semestrovogo-kontrolyu-perіodichnіst-і-termіni-їh-provedennya.html

yakimi-normativno-pravovimi-aktami-reglamentuєtsya-organіzacіya-navchalnogo-procesu-u-vishіj-shkolі-ukraїni.html

yakimi-osnovnimi-shlyahami-sanіtarno-pokazovі-mіkroorganіzmi-potraplyayut-u-navkolishnє-seredovishe.html

yakimi-zh-є-motivi-blagodіjnoї-dіyalnostі.html

yakim-obichaem-shkrutinium-maet-biti-chineno.html

yakim-obєktam-krimіnalno-pravovoї-ohoroni-zapodіyana-shkoda.html

© domain.tld 2017. Design by Design by toptodoc.ru


Автор:

Дата:

Каталог: Образовательный документ